- Подробности
- Опубликовано 05.09.2012 05:56
- Просмотров: 7238
1.5.1. Представление числовой информации с помощью систем счисления
Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит системы счисления состоит из символов, которые называются цифрами.
Система счисления — это знаковая система, в которой числе записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозициопные. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.
Непозиционные системы счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления, которая начала применяться более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для числа 10, а для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000 используются латинские буквы L, С, D и М.
В римской системе счисления количественное значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в римском числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину — число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.
Позиционные системы счисления. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание Основание системы равно количеству цифр (знаков) в ее алфавите.
В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряды числа возрастают справа налево, от младших разрядов к старшим. Основание показывает, во сколько раз изменяется значение цифры при перемещении ее в соседний разряд.
В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная и двоичная. Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, тек называемых арабских, цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а двоичная — две цифры {0,1} (табл. 1.1).
Десятичная система счисления. В десятичной системе счисления цифра в крайней справа позиции обозначает единицы, цифра, смещенная на одну позицию влево, обозначает десятки, еще левее — сотни, затем — тысячи и т. д. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 333. Цифра 3 встречается в числе трижды, причем самая правая обозначает три единицы, вторая справа — три десятка и, наконец, третья — три сотни.
Выше десятичное число 333 было записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10, которое является основанием десятичной системы счисления.
В развернутой форме записи числа умножение цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 333 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:
33310 = 3 ■ 102 + 3 - 101 + 3 • 10°.
Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 333,33 в развернутой форме будет записываться следующим образом:
333,3310 = 3 • 102 + 3 101 + 3 • 10°+ 3 • 10 1 +3 10~2.
Числа в позиционных системах счисления записываются в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд вправо или влево. Например:
333,3310 • 10 = 3333,310, 333,3310 : 10 = 33,33310.
Двоичная система счисления. Числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 ( коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.
Например, развернутая запись двоичного числа выглядит следующим образом:
А2 = 1 • 22 + 1 • 21 + 0 ■ 2° + 0 • 2"1 + 1 • 2"2
Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:
110,012 • 2 = 1100,12, 110,012 : 2 = 11,0012.
Контрольные вопросы
1.Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных ?
2.Каково основание десятичной системы счисления? Двоичной системы счисления?
3.Какие цифры входят в алфавит десятичной системы счисления? Двоичной системы счисления?
4.На какую величину в позиционных системах счисления различаются цифры соседних разрядов числа?