Школьные учебники онлайн Удобная онлайн библиотека для школьников.

Подробности

Опубликовано 05.09.2012 05:56

Просмотров: 7230

1.5.1. Представление числовой информации с помощью систем счисления

Для записи информации о количестве объектов исполь­зуются числа. Числа записываются с использованием осо­бых знаковых систем, которые называются системами счис­ления. Алфавит системы счисления состоит из символов, которые называются цифрами.

Система счисления — это знаковая система, в ко­торой числе записываются по определенным пра­вилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозициопные. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее по­ложения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Непозиционные системы счисления. Примером непози­ционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления, которая начала применяться более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для числа 10, а для обо­значения чисел 50, 100, 500 и 1000 используются латинские буквы L, С, D и М.

В римской системе счисления количественное значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в римском числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину — число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.

Позиционные системы счисления. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание Основание системы равно количеству цифр (зна­ков) в ее алфавите.

В позиционных системах счисления количественное зна­чение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция циф­ры в числе называется разрядом. Разряды числа возрастают справа налево, от младших разрядов к старшим. Основание показывает, во сколько раз изменяется значение цифры при перемещении ее в соседний разряд.

В настоящее время наиболее распространенными пози­ционными системами счисления являются десятичная и двоичная. Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, тек назы­ваемых арабских, цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а двоичная — две цифры {0,1} (табл. 1.1).

Десятичная система счисления. В десятичной сис­теме счисления цифра в крайней справа позиции обозначает единицы, цифра, смещенная на одну позицию влево, обозна­чает десятки, еще левее — сотни, затем — тысячи и т. д. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 333. Циф­ра 3 встречается в числе трижды, причем самая правая обо­значает три единицы, вторая справа — три десятка и, нако­нец, третья — три сотни.

Выше десятичное число 333 было записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10, которое явля­ется основанием десятичной системы счисления.

В развернутой форме записи числа умножение цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в раз­вернутой форме запись числа 333 в десятичной системе бу­дет выглядеть следующим образом:

333₁₀ = 3 ■ 10² + 3 - 10¹ + 3 • 10°.

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Напри­мер, число 333,33 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

333,33₁₀ = 3 • 10² + 3 10¹ + 3 • 10°+ 3 • 10 ¹ +3 10~².

Числа в позиционных системах счисления запи­сываются в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Умножение или деление десятичного числа на 10 (вели­чину основания) приводит к перемещению запятой, отделя­ющей целую часть от дробной, на один разряд вправо или влево. Например:

333,33₁₀ • 10 = 3333,3₁₀, 333,33₁₀ : 10 = 33,333₁₀.

Двоичная система счисления. Числа в двоичной си­стеме в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 ( коэффициентами, в качестве кото­рых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа выгля­дит следующим образом:

А₂ = 1 • 2² + 1 • 2¹ + 0 ■ 2° + 0 • 2"¹ + 1 • 2"²

Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

110,01₂ • 2 = 1100,1₂, 110,01₂ : 2 = 11,001₂.

Контрольные вопросы

1.Чем отличаются позиционные системы счисления от непозицион­ных ?

2.Каково основание десятичной системы счисления? Двоичной сис­темы счисления?

3.Какие цифры входят в алфавит десятичной системы счисления? Двоичной системы счисления?

4.На какую величину в позиционных системах счисления различа­ются цифры соседних разрядов числа?